【題目】已知f(x)=2x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集為(0,5).
(1)求b,c的值;
(2)若對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立,求t的取值范圍.
【答案】
(1)解:因?yàn)閒(x)=2x2+bx+c,所以不等式f(x)<0即為2x2+bx+c<0,
由不等式2x2+bx+c<0的解集為(0,5),
所以方程2x2+bx+c=0的兩個(gè)根為0和5,
所以 ;
(2)解:由(1)知:f(x)=2x2﹣10x,
所以“對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等價(jià)于
“對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立”,
即:對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立,
所以t≤(﹣2x2+10x+2)min,x∈[﹣1,1],
令g(x)=﹣2x2+10x+2,x∈[﹣1,1],
則 ,
所以g(x)=﹣2x2+10x+2在[﹣1,1]上為增函數(shù),
所以gmin(x)=g(﹣1)=﹣10,
所以t≤﹣10,即t的取值范圍為(﹣∞,﹣10].
另解:由(Ⅰ)知:f(x)=2x2﹣10x,
所以“對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式f(x)+t≤2恒成立”等價(jià)于
“對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立”,
令g(x)=2x2﹣10x+t﹣2,x∈[﹣1,1],則gmax(x)≤0,x∈[﹣1,1],
因?yàn)間(x)=2x2﹣10x+t﹣2在[﹣1,1]上為減函數(shù),
所以gmax(x)=g(﹣1)=10+t≤0,
所以t≤﹣10,即t的取值范圍為(﹣∞,﹣10].
【解析】(1)由題意可得方程2x2+bx+c=0的兩個(gè)根為0和5,由韋達(dá)定理,解方程可得b,c的值;(2)由題意可得對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立,即對(duì)任意x∈[﹣1,1],不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立,所以t≤(﹣2x2+10x+2)min , x∈[﹣1,1],由二次函數(shù)的單調(diào)性可得最小值,即可得到所求范圍; 另外:令g(x)=2x2﹣10x+t﹣2,x∈[﹣1,1],求得g(x)的單調(diào)性和最大值,即可得到所求范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: 的右焦點(diǎn)為F(3,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓E于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣1),則E的方程為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的最大值與最小值;
(Ⅱ)討論方程的實(shí)根的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】O為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(4,﹣3)為△OAB的直角頂點(diǎn),已知AB=2OA,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0
(1)求 的坐標(biāo);
(2)求圓C1:x2﹣6x+y2+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱(chēng)的圓C2的方程;在直線OB上是否存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P的任意一條直線如果和圓C1圓C2都相交,則該直線被兩圓截得的線段長(zhǎng)相等,如果存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的短軸長(zhǎng)為2,以為中點(diǎn)的弦經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn),其中點(diǎn)不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,射線與以圓心的圓交于點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若四邊形是矩形,求圓的半徑;
(Ⅲ)若圓的半徑為2,求四邊形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且2Sn=(n+2)an﹣1(n∈N*).
(1)求a1的值,并用an﹣1表示an;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)Tn= + + +…+ ,求證:Tn< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,設(shè)右焦點(diǎn)為,過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為,且.
(1)求弦的長(zhǎng);
(2)當(dāng)直線的斜率,且直線時(shí), 交橢圓于,若點(diǎn)在第一象限,求證:直線與軸圍成一個(gè)等腰三角形.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將52名志愿者分成A,B兩組參加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng),A組種植150捆白楊樹(shù)苗,B組種植200捆沙棘樹(shù)苗.假定A,B兩組同時(shí)開(kāi)始種植.
(1)根據(jù)歷年統(tǒng)計(jì),每名志愿者種植一捆白楊樹(shù)苗用時(shí)小時(shí),種植一捆沙棘樹(shù)苗用時(shí)小時(shí).應(yīng)如何分配A,B兩組的人數(shù),使植樹(shù)活動(dòng)持續(xù)時(shí)間最短?
(2)在按(1)分配的人數(shù)種植1小時(shí)后發(fā)現(xiàn),每名志愿者種植一捆白楊樹(shù)苗用時(shí)仍為小時(shí),而每名志愿者種植一捆沙棘樹(shù)苗實(shí)際用時(shí)小時(shí),于是從A組抽調(diào)6名志愿者加入B組繼續(xù)種植,求植樹(shù)活動(dòng)所持續(xù)的時(shí)間.
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