Question

在f（x）=sinx、f（x）=2^x、f（x）=2x+1、f（x）=log₂x、f（x）=x²這五個(gè)函數(shù)中，四個(gè)正實(shí)數(shù)x₁、x₂、α、β滿足x₁≠x₂、α≠β，則當(dāng)|β-α|＞|x₂-x₁|時(shí)，使得不等式|f（β）-f（α）|＞|f（x₂）-f（x₁）|恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：不妨假設(shè)四個(gè)正實(shí)數(shù)x₁＜x₂＜α＜β，
則|β-α|＞|x₂-x₁|等價(jià)為β-α＞x₂-x₁＞0，
不等式|f（β）-f（α）|＞|f（x₂）-f（x₁）|等價(jià)為不等式f（β）-f（α）＞f（x₂）-f（x₁）＞0，
則根據(jù)不等式的性質(zhì)可得（β-α）[f（β）-f（α）]＞（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，
即（β-α）[f（β）-f（α）]＞0，（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，
即α、β，x₁、x₂、的斜率k＞0，則函數(shù)此時(shí)單調(diào)遞增，且kα，β＞kx1x2，
∵f（x）=sinx，f（x）=x²在R上不單調(diào)，∴不滿足條件．
f（x）=2^x、f（x）=2x+1、f（x）=log₂x、在各自的定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，滿足條件．
故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，根據(jù)不等式的性質(zhì)以及斜率的幾何意義判斷函數(shù)是增函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．