Question

已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=

n，n為偶數(shù) n+1，n為奇數(shù)

（n∈N^*），若S₃=b₅+1，b₄是a₂和a₄的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得b₅=6，b₄=4，a1+a1q+a1q2=7，a2•a4=a32=16，從而q=2，a₁=1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）當n為偶數(shù)時，利用分組求和法和錯位相減法能求出Tn=(n-1)•2n+1+

1-4 n 2

1-4

=（n-

2

3

）•2ⁿ+

2

3

．當n為奇數(shù)，且n≥3時，T_n=T_n-1+（n+1）•2^n-1=(n-

5

3

)•2n-1+

2

3

+(n+1)•2n-1=(2n-

2

3

)•2n-1+

2

3

，由此能求出T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=

n，n為偶數(shù) n+1，n為奇數(shù)

（n∈N^*），
∴b₅=6，b₄=4，
設各項為正數(shù)的等比數(shù)列數(shù)列{a_n}的公比為q，q＞0，
∵S₃=b₅+1=7，∴a1+a1q+a1q2=7，①
∵b₄是a₂和a₄的等比中項，
∴a2•a4=a32=16，解得a3=a1q2=4，②
由①②得3q²-4q-4=0，
解得q=2，或q=-

2

3

（舍），
∴a₁=1，an=2n-1．
（2）當n為偶數(shù)時，
T_n=（1+1）•2⁰+2•2+（3+1）•2²+4•2³+（5+1）•2⁴+…+[（n-1）+1]•2^n-2+n•2^n-1
=（2⁰+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1）+（2⁰+2²+…+2^n-2），
設H_n=2⁰+2•2+3•2²+4•2³+…+n•2^n-1，①
2H_n=2+2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-H_n=2⁰+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴H_n=（n-1）•2ⁿ+1，
∴Tn=(n-1)•2n+1+

1-4 n 2

1-4

=（n-

2

3

）•2ⁿ+

2

3

．
當n為奇數(shù)，且n≥3時，
T_n=T_n-1+（n+1）•2^n-1=(n-

5

3

)•2n-1+

2

3

+(n+1)•2n-1=(2n-

2

3

)•2n-1+

2

3

，
經(jīng)檢驗，T₁=2符合上式，
∴T_n=

(2n- 2 3 )•2n-1+ 2 3 ，n為奇數(shù) (n- 2 3 )•2n+ 2 3 ，n為偶數(shù)

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意分類討論思想、分組求和法和錯位相減法的合理運用．