Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DAAB.

（1）證明：BC⊥PA；

（2）若PA＝PC＝AC，求平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）設AB＝2a，則AC＝CD＝DA＝a，推導出，由余弦定理得BC，由勾股定理得BC⊥AC，從而BC⊥平面PAC，由此能證明BC⊥PA.

（2）設AC＝2，取AC中點O，連結PO，則PO⊥AC，PO，推導出PO⊥平面ABCD，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值.

（1）證明：設AB＝2a，則AC＝CD＝DA＝a，

∵△ACD是等邊三角形，∴，

∵AB∥DC，∴，

由余弦定理得：

3a2，∴BC，

∴BC2+AC2＝AB2，∴，∴BC⊥AC，

∵平面PAC∩平面ABCD＝AC，BC平面ABCD，

∴BC⊥平面PAC，

∵PA平面PAC，∴BC⊥PA.

（2）解：設AC＝2，取AC中點O，連結PO，則PO⊥AC，PO，

∵平面PAC⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，

以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則C（0，0，0），B（0，2，0），P（1，0，），A（2，0，0），D（1，，0），

（1，0，），（1，，0），（1，0，），（0，2，0），

設平面PAD的法向量（x，y，z），

則，取z＝1，得（），

設平面PBC的法向量（a，b，c），

則，取a，得（），

設平面PAD與平面PBC所成的銳二面角為θ.

則cosθ.

∴平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的余弦值為.