5.證明函數(shù)u=$\frac{1}{r}$,滿足方程$\frac{{∂}^{2}u}{{∂x}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{ay}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{az}^{2}}=0$,其中r=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$.

分析 運(yùn)用二階偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,先求一階偏導(dǎo)數(shù),再由二階偏導(dǎo)數(shù),化簡整理即可得證.

解答 證明:由u(x,y,z)=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}$,
可得$\frac{∂u}{∂x}$=-$\frac{x}{({x}^{2}+{{y}^{2}+z}^{2})^{\frac{3}{2}}}$,$\frac{∂^2u}{∂x^2}$=$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}{({x}^{2}+{{y}^{2}+z}^{2})^{\frac{5}{2}}}$,
同理可得,$\frac{∂^2u}{∂y^2}$=$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}{({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2})^{\frac{5}{2}}}$,$\frac{∂^2u}{∂z^2}$=$\frac{2{z}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}{(x+{y}^{2}+{z}^{2})^{\frac{5}{2}}}$,
即有$\frac{{∂}^{2}u}{{∂x}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{ay}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{az}^{2}}=0$.

點(diǎn)評 本題考查二階偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.若方程tanx+sinx-a=0,在0<x≤$\frac{π}{3}$內(nèi)有解,則a的取值范圍是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

16.已知函數(shù)y=tan(2x+φ)的圖象的一個對稱中心為($\frac{π}{2}$,0),則φ={α|α=($\frac{1}{2}$k-1)π,k∈Z}.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.已知函數(shù)y=2sin(2x+$\frac{π}{3}$).
(1)求函數(shù)的周期;
(2)當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$],求函數(shù)的值域.
(3)當(dāng)x∈R時,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.函數(shù)y=tan$(2x-\frac{π}{6})$+3圖象的對稱中心坐標(biāo)為($\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{12}$,3),k∈Z,單調(diào)遞增區(qū)間為($\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$,$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$),k∈Z.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.若方程$\frac{{x}^{2}}{k-4}$-$\frac{{y}^{2}}{k+4}$=1表示雙曲線,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(  )
A.($\sqrt{2k}$,0),(-$\sqrt{2k}$,0)B.(0,$\sqrt{-2k}$),(0,$-\sqrt{2k}$)C.($\sqrt{2|k|}$,0),(-$\sqrt{2|k|}$,0)D.根據(jù)k的取值而定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知sinα•cosα=$\frac{1}{4}$,且α是第三象限角,求sinα+cosα的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立?如果這個等式成立,那么能否說明120°是正弦函數(shù)y=sinx的周期?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4a6=36,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案