Question

5．證明函數(shù)u=$\frac{1}{r}$，滿足方程$\frac{{∂}^{2}u}{{∂x}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{ay}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{az}^{2}}=0$，其中r=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用二階偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，先求一階偏導(dǎo)數(shù)，再由二階偏導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)整理即可得證．

解答 證明：由u（x，y，z）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}}$，
可得$\frac{∂u}{∂x}$=-$\frac{x}{（{x}^{2}+{{y}^{2}+z}^{2}）^{\frac{3}{2}}}$，$\frac{∂^2u}{∂x^2}$=$\frac{2{x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}}{（{x}^{2}+{{y}^{2}+z}^{2}）^{\frac{5}{2}}}$，
同理可得，$\frac{∂^2u}{∂y^2}$=$\frac{2{y}^{2}-{x}^{2}-{z}^{2}}{（{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}）^{\frac{5}{2}}}$，$\frac{∂^2u}{∂z^2}$=$\frac{2{z}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}{（x+{y}^{2}+{z}^{2}）^{\frac{5}{2}}}$，
即有$\frac{{∂}^{2}u}{{∂x}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{ay}^{2}}+\frac{{∂}^{2}u}{{az}^{2}}=0$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二階偏導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．