Question

15．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}中，a₁a₅+2a₂a₆+a₃a₇=100，a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n及前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，討論q＞1和0＜q＜1，運(yùn)用通項(xiàng)公式可得q，即可得到所求通項(xiàng)和前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞0），
由a₁a₅+2a₂a₆+a₃a₇=100，
可得a₃²+2a₃a₅+a₅²=100，
即為（a₃+a₅）²=100，
則a₃+a₅=10，①
a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36，
即有a₃²-2a₃a₅+a₅²=36，
即為（a₃-a₅）²=36，
若q＞1，則a₅-a₃=6②，
若0＜q＜1，則a₅-a₃=-6③，
由①②可得a₃=2，a₅=8，
即有q=2，a_n=2•2^n-3=2^n-2，
S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2}$；
由①③可得a₃=8，a₅=2，
解得q=$\frac{1}{2}$，a_n=8•2^3-n=2^6-n，
S_n=$\frac{32（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=64-2^6-n．
綜上可得a_n=2^n-2，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2}$；
a_n=2^6-n，S_n=64-2^6-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，以及求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．