Question

13．已知正數(shù)x，y滿足xy≤1，則M=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+2y}$的最小值為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 由條件可得0＜x≤$\frac{1}{y}$，即有M≥$\frac{1}{1+\frac{1}{y}}$+$\frac{1}{1+2y}$=1-$\frac{y}{（1+y）（1+2y）}$=1-$\frac{1}{2y+\frac{1}{y}+3}$，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：由正數(shù)x，y滿足xy≤1，可得0＜x≤$\frac{1}{y}$，
則M=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{1}{1+2y}$≥$\frac{1}{1+\frac{1}{y}}$+$\frac{1}{1+2y}$=$\frac{y}{1+y}$+$\frac{1}{1+2y}$
=1-$\frac{1}{1+y}$+$\frac{1}{1+2y}$
=1-$\frac{y}{（1+y）（1+2y）}$=1-$\frac{1}{2y+\frac{1}{y}+3}$≥1-$\frac{1}{3+2\sqrt{2y•\frac{1}{y}}}$
=1-$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$-2．
當(dāng)且僅當(dāng)y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x=$\sqrt{2}$時(shí)，取得最小值2$\sqrt{2}$-2．
故答案為：2$\sqrt{2}$-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)最值的求法，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)和基本不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題．