Question

一種信號燈，只有符號“√”和“×”隨機(jī)地反復(fù)出現(xiàn)，每秒鐘變化一次，每次變化只出現(xiàn)“√”和“×”兩者之一，其中出現(xiàn)“√”的概率為

1

3

，出現(xiàn)“×”的概率為

2

3

，若第m次出現(xiàn)“√”，記為a_m=1，若第m次出現(xiàn)“×”，則記為a_m=-1，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）求S₄=2的概率；
（2）求S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3的概率．

Answer 1

分析：（1）欲求S₄=2的概率，需要先分析何時(shí)S₄=2，根據(jù)若第m次出現(xiàn)“√”，記為a_m=1，若第m次出現(xiàn)“×”，則記為a_m=-1可知，出現(xiàn)了3次“√”，1次“×”，再用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录�恰有k次發(fā)生的概率來計(jì)算即可．
（2）因?yàn)镾₇=3，所以7次中出現(xiàn)了5次“√”，2次“×”，又因?yàn)镾₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，所以第一次是“√”，第二次和第三次中至少有一次是“√”，再分第二次和第三次中有一次是“√”和第二次和第三次中都是“√”，兩種情況求出概率，相加即為S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3的概率．

解答：解：（1）∵S₄=2，∴出現(xiàn)了3次“√”，1次“×”
∴概率為C₄¹×

2

3

×(

1

3

)3=

8

81

（2）∵S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3，
∴出現(xiàn)了5次“√”，2次“×”，且第一次是“√”，第二次和第三次中至少有一次是“√”
第二次和第三次中有一次是“√”的概率為C₂¹C₄³(

1

3

)5(

2

3

)2=

64

2187

第二次和第三次中都是“√”的概率為C₄²(

1

3

)5(

2

3

)2=

48

2187

∴S₁≥0，S₂≥0，S₃≥0，且S₇=3的概率為

64

729

+

48

2187

=

112

2187

點(diǎn)評：本題主要考察了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录�恰有k次發(fā)生的概率，其中需判斷所求情況中某事件出現(xiàn)的情況．