Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求證：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln2（n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由于函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx的導函數(shù)含參數(shù)m，故需對m分類討論，得到當m≤0時，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-m＞0，此時f（x）沒有極值；當m＞0時，解不等式f′（x）＞0與f′（x）＜0，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得到函數(shù)f（x）的極值．
（2）由（1）知m=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），得到$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln（1+$\frac{1}{n+1}$）+ln（1+$\frac{1}{n+2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n+（n+1）}$），整理上式，即可得證．

解答 解：∵f（x）=ln（1+x）-mx，（x＞-1）
∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-m，（x＞-1）
（1）①當m≤0時，f′（x）＞0，則f（x）為（-1，+∞）上的增函數(shù)，∴f（x）沒有極值；
②當m＞0時，由f′（x）＞0得-1＜x＜$\frac{1}{m}$-1；由f′（x）＜0得x＞$\frac{1}{m}$-1．
則函數(shù)f（x）在（-1，$\frac{1}{m}$-1）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{m}$-1，+∞）上單調(diào)遞減．
故當x=$\frac{1}{m}$-1時，f（x）有極大值，但無極小值．
綜上可知，當m≤0時，f（x）沒有極值；
當m＞0時，當x=$\frac{1}{m}$-1時，f（x）有極大值，但無極小值．
（2）由（1）知m=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令x=$\frac{1}{k+1}$，得ln（1+$\frac{1}{1+k}$）＜$\frac{1}{1+k}$，
∴$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$
＞ln（1+$\frac{1}{n+1}$）+ln（1+$\frac{1}{n+2}$）+…+ln（1+$\frac{1}{n+（n+1）}$）
=ln（$\frac{n+2}{n+1}$）+ln（$\frac{n+3}{n+2}$）+…+ln（$\frac{n+n+1+1}{n+（n+1）}$）
=ln$\frac{2n+2}{n+1}$=ln2．
∴$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+（n+1）}$＞ln2（n∈N^*）＞ln2．

點評 本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性，在研究函數(shù)的性質(zhì)時要注意函數(shù)的定義域，并且利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這是高考考查的重點也是學生學習的難點．