Question

13．已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，其中a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，若存在常數(shù)u，v對(duì)任意正整數(shù)n都有a_n=3log_ub_n-v，則uv=-9．

Answer 1

分析 設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，由題設(shè)條件解得q=9時(shí)，d=6，故a_n=6n-3，b_n=9^n-1．由a_n=3log_ub_n-v，知6n-3+v=log_u（9^3n-3），分別今n=1和n=2，能夠求出uv的值．

解答 解：設(shè){a_n}的公差為d（d≠0），{b_n}的公比為q，
由a₁=3，b₁=1，a₂=b₂，3a₅=b₃，
可得a₂=3+d=q=b₂，
3a₅=3（3+4d）=q²=b₃，
解方程得q=3，或q=9，
當(dāng)q=3時(shí)，d=0，不符合題意，故舍去；
當(dāng)q=9時(shí)，d=6．
a_n=3+（n-1）×6=6n-3，b_n=q^n-1=9^n-1．
由a_n=3log_ub_n-v=log_u（9^3n-3）-v，
即有6n-3+v=log_u（9^3n-3），
當(dāng)n=1時(shí)，3+v=log_u1=0，
解得v=-3．
當(dāng)n=2時(shí)，12-3-3=log_u（9³），
可得u⁶=9³，即u=3，
則uv=-9．
故答案為：-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．