Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωx•cosωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0）的圖象與直線y=1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為π
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （I）使用二倍角公式化簡得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$），根據(jù)周期計(jì)算出ω，根據(jù)x的范圍得出2ωx+$\frac{π}{3}$的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最值；
（II）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）．
∵f（x）的圖象與直線y=1的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的距離為π，即f（x）的周期為π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，即ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，則2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值-$\frac{1}{2}$，當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值1．
∴f（x）的值域是[-$\frac{1}{2}$，1]．
（II）由（I）得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+kπ．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{π}{12}$+kπ]，k∈Z．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．