Question

5．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{3}$，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面積為2$\sqrt{3}$，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$．

Answer 1

分析 由題意可得a²-b²=c²=3，|PF₁|•|PF₂|=8．再根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，再利用余弦定理求得a² 的值，可得b² 的值，從而得到要求的橢圓的方程．

解答 解：由題意可得c=$\sqrt{3}$，∴a²-b²=c²=3．
由∠F₁PF₂=60°，△PF₁F₂的面積為2$\sqrt{3}$，可得$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|PF₁|•|PF₂|=2$\sqrt{3}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
再根據(jù)橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
再利用余弦定理可得4c²=12=${{PF}_{1}}^{2}$+${{PF}_{2}}^{2}$-2PF₁•PF₂•cos60°=${{（PF}_{1}{+PF}_{2}）}^{2}$-3PF₁•PF₂=4a²-3×8，
求得a²=9，∴b²=6，
故要求的橢圓的方程為 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$，
故答案為：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．