Question

【題目】已知函數(shù)，，且曲線與在處有相同的切線.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：在上恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)2.

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)函數(shù)有相同的切線，則，，據(jù)此計(jì)算可得；

(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)，令，原問題等價(jià)于在上恒成立，討論函數(shù)的單調(diào)性可得，即在上恒成立.

(Ⅲ)構(gòu)造函數(shù)，其中，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性有 .構(gòu)造函數(shù)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，，據(jù)此討論可得在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2.

試題解析：

（Ⅰ）∵，，，

∴.

∵，，

∴，.

∵，即，

∴.

（Ⅱ）證明：設(shè)，

.

令，則有.

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

∴，即在上恒成立.

（Ⅲ）設(shè)，其中，

.

令，則有.

當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

∴ .

，

設(shè)，其中，則，

∴在內(nèi)單調(diào)遞減，，

∴，故，而.

結(jié)合函數(shù)的圖象，可知在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，

∴方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù)為2.