Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；

（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 在， 內(nèi)是增函數(shù)，在， 內(nèi)是減函數(shù).

(2) .

(3) .

【解析】(I)當(dāng)時(shí)，直接求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)大（小）于零，求其單調(diào)遞增（減）區(qū)間即可.

(2)由題意知，顯然不是方程的根為使僅在處有極值，必須成立，即有，到此問題基本得以解決.

(3) 由條件，可知，從而恒成立．這樣根據(jù)可確定其單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為.然后通過比較f(-1)和f(1)求出最大值，根據(jù)最大值小于或等于1在[-1,1]上恒成立.來建立b與a的不等式，確定出b的范圍.

（Ⅰ）．

當(dāng)時(shí)， ．

令，解得， ， ．

當(dāng)變化時(shí)， ， 的變化情況如下表：

		0				2
	－	0	＋	0	－	0	＋
	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以在， 內(nèi)是增函數(shù)，在， 內(nèi)是減函數(shù)．

（Ⅱ）解： ，顯然不是方程的根．

為使僅在處有極值，必須成立，即有．

解此不等式，得．這時(shí)， 是唯一極值．

因此滿足條件的的取值范圍是．

（Ⅲ）由條件，可知，從而恒成立．

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．

為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，

即，在上恒成立．

所以，因此滿足條件的的取值范圍是．