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已知三角形ABC中,AB=2,AC=
2
BC.
(1)求點C的軌跡方程;
(2)求三角形ABC的面積的最大值.
考點:正弦定理,軌跡方程
專題:計算題,解三角形,直線與圓
分析:(1)以AB為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,則A(-1,0),B(1,0),設C(x,y),由條件得到方程,化簡方程,整理配方即可得到所求軌跡方程;
(2)運用圓的方程,可得|y|的最大值,由三角形的面積公式,計算即可得到最大值.
解答: 解:(1)以AB為x軸,AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,
則A(-1,0),B(1,0),設C(x,y),
AC=
2
BC
,得(x-3)2+y2=8,即為點C的軌跡方程,
所以點C的軌跡是以(3,0)為圓心,半徑為2
2
的圓.
(2)由于AB=2,所以S△ABC=
1
2
×2
|y|=|y|.
因為(x-3)2+y2=8,所以|y|≤2
2
,
所以S△ABC≤2
2
,
即三角形ABC的面積的最大值為2
2
點評:本題考查軌跡方程的求法:直接法,考查圓的方程的運用,考查三角形面積公式的運用,考查運算能力,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知冪函數f(x)=xα(α為常數)的圖象經過點(2,
1
8
),則f(x)=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知lga+lgb=0,函數f(x)=ax與函數g(x)=-logbx的圖象可能是( 。
A、
B、
C、
D、

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科目:高中數學 來源: 題型:

點(2,3,4)關于yoz平面的對稱點為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

在同一坐標系中,函數y=log0.5x與y=log2x的圖象之間的關系是( 。
A、關于原點對稱
B、關于x軸對稱
C、關于直線y=1對稱
D、關于y軸對稱

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}滿足
n
a1+a2+…+an
=
1
2n+1

(1)設Sn是數列{an}的前n項和,求an與Sn;
(2)若bn=
16
(an+1)(an+5)
,設函數f(x)=x+
1
2
-
n
i-1
bi,是否存在最大的實數λ,當x≤λ時,對一切n∈N*都有f(x)≤0成立?若存在求出λ的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
(3a-1)x-5,(x<1)
ax,(x≥1)
是實數集R上的增函數,則實數a的取值范圍為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=
cosx-2
3
-2cosx+sinx
的值域是( 。
A、[-2,-
3
2
5
]
B、[-
3
,-
2
3
5
]
C、[-
3
2
,-
3
2
5
]
D、[-
2
,-
3
2
4
]

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科目:高中數學 來源: 題型:

某校參加舞蹈社團的學生中,高一年級有40名,高二年級有30名,現用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本,已知在高一年級的學生中抽取了8名,則在高二年級的學生中應抽取的人數為( 。
A、12B、10C、8D、6

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