選修4-1：幾何證明選講
如圖，⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，點D是劣弧
BC
的中點，連接AD并延長，與過C點的切線交于P，OD與BC相交于點E．
（Ⅰ）求證：OE=
1
2
AC；
（Ⅱ）求證：
PD
PA
=
BD2
AC2
．
分析：（Ⅰ）因為AB為⊙O直徑，所以AC⊥BC，因為D是弧
BC
的中點，由垂徑定理得OD⊥BC，因此OD∥AC．再由點O為AB的中點，能證明OE=
1
2
AC．
（Ⅱ）連接CD，因為PC是⊙O的切線，所以∠PCD=∠CAP，△PCD∽△PAC．由此能夠證明
PD
PA
=
BD2
AC 2
．
解答：（Ⅰ）證明：因為AB為⊙O直徑，
所以∠ACB=90°，即 AC⊥BC，
因為D是弧
BC
的中點，由垂徑定理
得OD⊥BC，因此OD∥AC  （3分）
又因為點O為AB的中點，所以點E為
BC的中點，所以O(shè)E=
1
2
AC  （2分）
（Ⅱ）證明：連接CD，因為PC是⊙O的切線，
所以∠PCD=∠CAP，
又∠P是公共角，
所以△PCD∽△PAC．
得
PC
PA
=
PD
PC
=
CD
AC
，
∴
PC
PA
×
PD
PC
=
CD
AC
×
CD
AC
，
∴
PD
PA
=
CD2
AC2
． （3分）
因為D是弧
BC
的中點，所以CD=BD，因此
PD
PA
=
BD2
AC 2
．   （2分）
點評：本題考查圓周角定理的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O的直徑AB=10，弦DE⊥AB于點H，HB=2．
（1）求DE的長；
（2）延長ED到P，過P作圓O的切線，切點為C，若PC=2
5
，求PD的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)A、選修4-1：幾何證明選講 
如圖，PA與⊙O相切于點A，D為PA的中點，
過點D引割線交⊙O于B，C兩點，求證：∠DPB=∠DCP．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin(θ+
π
4
)，以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數(shù)），判斷直線l和圓C的位置關(guān)系．
D．選修4-5：不等式選講
求函數(shù)y=
1-x
+
4+2x
的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-1：幾何證明選講
自圓O外一點P引圓的一條切線PA，切點為A，M為PA的中點，過點M引圓O的割線交該圓于B、C兩點，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•徐州模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過圓上O的點C，并且OA=OB，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=
12
，圓O的半徑為3，求OA的長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南京二模）選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O是等腰三角形ABC的外接圓，AB=AC，延長BC到點D，使得CD=AC，連結(jié)AD交圓O于點E，連結(jié)BE與AC交于點F，求證：AE2=EF•BE．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案