設(shè)拋物線C:的焦點為F,經(jīng)過點F的直線與拋物線交于A、B兩點.
(1)若,求線段中點M的軌跡方程;
(2)若直線AB的方向向量為,當(dāng)焦點為時,求的面積;
(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點,求證:直線的斜率成等差數(shù)列.
(1)  ;(2)
(3)顯然直線的斜率都存在,分別設(shè)為
的坐標(biāo)為
聯(lián)立方程組得到 ,
,得到

試題分析:
思路分析:(1) 利用“代入法”。
(2) 聯(lián)立方程組得,,應(yīng)用弦長公式求 
,得到面積。
(3)直線的斜率都存在,分別設(shè)為
的坐標(biāo)為
設(shè)直線AB:,代入拋物線得, 確定 ,
,得到
解:(1) 設(shè),焦點,則由題意,即 
所求的軌跡方程為,即 
(2) ,,直線,
得,, 
。
(3)顯然直線的斜率都存在,分別設(shè)為
的坐標(biāo)為
設(shè)直線AB:,代入拋物線得, 所以,
,
因而,
因而 
,故
點評:中檔題,涉及“弦中點”問題,往往利用“代入法”求軌跡方程。涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,往往通過聯(lián)立方程組,應(yīng)用韋達定理,簡化解題過程。
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知為拋物線的焦點,拋物線上點滿足

(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)點的坐標(biāo)為(,),過點F作斜率為的直線與拋物線交于兩點,兩點的橫坐標(biāo)均不為,連結(jié)并延長交拋物線于、兩點,設(shè)直線的斜率為,問是否為定值,若是求出該定值,若不是說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過橢圓的左焦點作互相垂直的兩條直線,分別交橢圓于四點,則四邊形面積的最大值與最小值之差為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知拋物線的焦點恰為雙曲線的右焦點,且兩曲線交點的連線過點,則雙曲線的離心率為  (   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

在平面直角坐標(biāo)系中,動點到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點的距離,記點的軌跡為曲線.
(I) 給出下列三個結(jié)論:
①曲線關(guān)于原點對稱;
②曲線關(guān)于直線對稱;
③曲線軸非負(fù)半軸,軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于;
其中,所有正確結(jié)論的序號是_____;
(Ⅱ)曲線上的點到原點距離的最小值為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知定點,,動點到定點距離與到定點的距離的比值是.
(Ⅰ)求動點的軌跡方程,并說明方程表示的曲線;
(Ⅱ)當(dāng)時,記動點的軌跡為曲線.
①若是圓上任意一點,過作曲線的切線,切點是,求的取值范圍;
②已知,是曲線上不同的兩點,對于定點,有.試問無論兩點的位置怎樣,直線能恒和一個定圓相切嗎?若能,求出這個定圓的方程;若不能,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知橢圓的離心率為,雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓的方程為(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知雙曲線的左焦點為,點為雙曲線右支上一點,且與圓相切于點,為線段的中點,為坐標(biāo)原點, 則=       

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,雙曲線與拋物線相交于,直線AC、BD的交點為P(0,p)。

(I)試用m表示
(II)當(dāng)m變化時,求p的取值范圍。

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同步練習(xí)冊答案