正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a,在側(cè)棱BB1上截取BD=,在側(cè)棱CC1上截取CE=a,過A、D、E作棱柱的截面.

（1）求證：截面ADE⊥側(cè)面ACC1A1；

（2）求截面面積.

（1）證明:延長(zhǎng)ED、CB交于F，連結(jié)AF，

∵DB∥EC，

∴.

∴FB=BC=AB.

∴∠FAC=90°，即FA⊥AC.

又FA⊥A1A，

∴FA⊥側(cè)面AA1C1C.由FA截面ADE，

∴截面ADE⊥側(cè)面ACC1A1.

（2）解析:在Rt△FAC中，AC=a,FC=2a,

∴AF=a.又D為Rt△FAE斜邊EF的中點(diǎn)，

∴S△ADE=.

小結(jié)：解決棱柱中點(diǎn)、線、面的問題常根據(jù)第一單元的基本知識(shí)解決，證明截面ADE⊥側(cè)面ACC1A1，只要按判定定理證明就可以了.本題也可這樣解決：取CE的中點(diǎn)，AE的中點(diǎn)，證明平面ADE⊥平面ACC1A1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
AA13
=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在 正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，底面邊長(zhǎng)為
2

（1）設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證A B1⊥B C1；
（2）設(shè)A B1與B C1成600角，求側(cè)棱長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA1上，AN=
1
4
．
（1）求BC1與側(cè)面AC C1 A1所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C1；
（3）求二面角C-C1B-M的平面角的正弦值，若在△A1B1C1中，
C1E
=
1
3
EA1
，
C1F
=
1
4
FB1
，
C1H
=x
C1A1
+y
C1B1
，求x+y的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=數(shù)學(xué)公式=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：1996年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB==a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點(diǎn)且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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