Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P，Q分別是AA₁，A₁D₁，CC₁，BC的中點，給出以下四個結(jié)論：①A₁C⊥MN；②A₁C∥平面MNPQ；③A₁C與PM相交；④NC與PM異面．其中不正確的結(jié)論是（ ）

A．①
B．②
C．③
D．④

Answer 1

【答案】分析：①要證A₁C⊥MN，由于AD₁∥MN，則只需證A₁C⊥AD₁，即只需證AD₁⊥面A₁CD即可；
②由于A₁C與MP交于一點，則A₁C與平面MNPQ相交；
③④判定空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，要緊扣定義來完成．
解答：解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∴A₁D⊥AD₁，
又∵⇒CD⊥AD₁，
∴AD₁⊥面A₁CD，∴A₁C⊥AD₁
∵M(jìn)，N分別是AA₁，A₁D₁的中點，∴AD₁∥MN，即A₁C⊥MN，故①正確；
由于M，N，P，Q分別是AA₁，A₁D₁，CC₁，BC的中點，則A₁C與PM相交，故③正確；
∵N∉面ACC₁A₁，而M，P，C∈面ACC₁A₁，∴NC與PM異面，故④正確；
故答案選 B．
點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，同時考查了空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，我們可以根據(jù)空間幾何中的定義，定理及常用結(jié)論對四個結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)果．