Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=6，a_n+1-a_n=2n，記c_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，且存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≥M恒成立，則M最大值為（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足a₁=6，a_n+1-a_n=2n，可得a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，再利用數(shù)列（函數(shù)）的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=6，a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+6
=2×$\frac{（n-1）×n}{2}$+6=n²-n+6．
c_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=n+$\frac{6}{n}$-1，可得當n=2時，其最小值為4．
且存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≥M恒成立，則M最大值為4．
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列的通項公式與求和公式、“累加求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．