Question

徐州古稱(chēng)彭城，三面環(huán)山，歷來(lái)是兵家必爭(zhēng)之地，擁有云龍山、戶(hù)部山、子房山和九里山等四大名山．一位游客來(lái)徐州游覽，已知該游客游覽云龍山的概率為

2

3

，游覽戶(hù)部山、子房山和九里山的概率都是

1

2

，且該游客是否游覽這四座山相互獨(dú)立．
（1）求該游客至多游覽一座山的概率；
（2）用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的山數(shù)，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專(zhuān)題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用相互獨(dú)立事件的概率公式，即可求該游客至多游覽一座山的概率；
（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，即可求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望E（X）．

解答： 解：（1）記“該游客游覽i座山”為事件A_i，i=0，1，
則P(A0)=(1-

2

3

)×(1-

1

2

)×(1-

1

2

)×(1-

1

2

)=

1

24

，P(A1)=

2

3

×(1-

1

2

)3+(1-

2

3

)×

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2=

5

24

，
所以該游客至多游覽一座山的概率為P(A0)+P(A1)=

1

24

+

5

24

=

1

4

．  …（4分）
（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，P(X=0)=P(A0)=

1

24

，P(X=1)=P(A1)=

5

24

，P(X=2)=

2

3

×

C

1 3

×

1

2

×(1-

1

2

)2+(1-

2

3

)×

C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)=

3

8

，P(X=3)=

2

3

×

C

2 3

×(

1

2

)2×(1-

1

2

)+(1-

2

3

)×

C

3 3

×(

1

2

)3=

7

24

，P(X=4)=

2

3

×(

1

2

)3=

1

12

，
所以X的概率分布為

X	0	1	2	3	4
P	1 24	5 24	3 8	7 24	1 12

故E(X)=0×

1

24

+1×

5

24

+2×

9

24

+3×

7

24

+4×

2

24

=

13

6

．  …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、期望，考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k的概率計(jì)算公式，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，本題綜合性強(qiáng)．