Question

袋子里有大小相同的3個紅球和4個黑球，今從袋子里隨機取球．
（Ⅰ）若有放回地摸出4個球，求取出的紅球數(shù)小于黑球數(shù)的概率P；
（Ⅱ）若無放回地摸出4個球，求取出的紅球數(shù)ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）取出的紅球數(shù)小于黑球數(shù)包括摸出的黑球個數(shù)為3、4，有放回地摸出4個球，相互之間沒有影響，而摸一次能夠摸到黑球的概率是

4

7

，利用獨立重復(fù)試驗的概率公式寫出結(jié)果．
（II）由題意知隨機變量ξ的所有取值為0，1，2，3．結(jié)合變量對應(yīng)的事件和等可能事件的概率寫出變量的概率和分布列求出期望值．

解答：解：（I）依題意知取出的紅球數(shù)小于黑球數(shù)，則摸出的黑球個數(shù)為3、4，
∵有放回地摸出4個球，相互之間沒有影響，
而摸一次能夠摸到黑球的概率是

4

7

∴P=

C

3 4

3

7

(

4

7

)3+

C

4 4

(

4

7

)4=

1024

2401

（II）由題意知隨機變量ξ的所有取值為0，1，2，3.P(ξ=0)=

C 4 4

C 4 7

=

1

35

，P(ξ=1)=

C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

12

35

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 3

C 4 7

=

18

35

，
P(ξ=3)=

C 1 4 C 3 3

C 4 7

=

4

35

∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	1 35	12 35	18 35	4 35

∴Eξ=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是對于條件中所給的又放回的模四個球要引起注意．