Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1．

（1）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
（2）在線段CP上是否存在一點(diǎn)E，使得DE⊥PB，若存在，求線段CE的長度，不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AC，AP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P（0，0，2），A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），D（﹣ ， ，0）．

∴ =（0，2，﹣2）， =（1，0，﹣2）， =（0，2，0）．

顯然 =（0，2，0）為平面PAB的法向量．

設(shè)平面PBC的法向量為 =（x，y，z），

則 ， =0，

∴ ，令z=1，得 =（2，1，1）．

∴ =2，| |= ，| |=2．

∴cos＜ ， ＞= = ．

∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值為

（2）解：過E作EF⊥AC于F，∴EF∥PA，∴EF=FC．

設(shè)EF=h，則E（0，2﹣h，h）．

∴ =（ ， -h，h）， =（1，0，﹣2）．

∵DE⊥PB，∴ = ﹣2h=0，解得h= ．

∴CE= h= ．

【解析】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PAB和平面PBC的法向量，則法向量的夾角與二面角的大小相等或互補(bǔ)；（2）作EF⊥AC于F，則EF=FC，設(shè)EF=h，求出E點(diǎn)坐標(biāo)得出 的坐標(biāo)，令 =0解出h，從而得出CE．