Question

【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)若，求在處的切線方程；

(Ⅱ)證明：對(duì)任意正數(shù)，函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn).

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：（I）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線的斜率,再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程；（Ⅱ）函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于 總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.變量分離得，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合圖像確定有兩個(gè)交點(diǎn)的條件，即得證.

試題解析：（I）時(shí)，則

在處的切線的斜率

又時(shí)， 即切點(diǎn)，

所以在處的切線方程為：

，即

（Ⅱ）法一：

記

則（已知）.

因?yàn)?/span>有意義，

所以

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故

記

因?yàn)?/span>

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

故

故恒成立，即

又時(shí)， 時(shí)， ，

故在和各有一個(gè)零點(diǎn)，

即和的圖像在和各有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

法二：函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于 總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

顯示不是該方程的根.

當(dāng)時(shí)，

記

則

再記

因?yàn)?/span>

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

所以

即

從而在和均單調(diào)遞增，

又時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， ，

又時(shí)， 時(shí)， 時(shí)， ，

的草圖如圖：

故對(duì)任意的正數(shù)，直線與的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn)，

即方程總有兩個(gè)根，

即函數(shù)和的圖像總有兩個(gè)公共點(diǎn)，命題得證.