Question

【題目】已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，且|AF|=3．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)F做互相垂直的兩條直線l1，l2分別交直線l：x=4于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN分別交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)離心率和|AF|＝3，可得a＝2，c＝1，從而求出橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)l1：y=k1（x-1），聯(lián)立l1和橢圓的方程，得P坐標(biāo)，因?yàn)橹本�l1，l2垂直，同理得Q坐標(biāo).且F（1，0），所以按和分類討論，判斷即可.

（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意：，

得b2=a2-c2=3，所以橢圓的方程是．

（Ⅱ）由題意可知，直線l1，l2的斜率均存在且不為0，A（-2，0），F(xiàn)（1，0），設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，則k1k2=-1．

直線l1的方程為y=k1（x-1），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3k1），得，設(shè)直線AM的方程為，

由得：

因?yàn)閤=-2是方程的根，所以，．同理可得．

當(dāng)，即時(shí)，可得，又F（1，0），所以P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線；

當(dāng)，即，時(shí)，，

，得kQF=kPF，所以P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線；

綜上所述：P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線.