Question

對于函數(shù)，若存在 ，使成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的不動點(diǎn)。
（1）已知函數(shù)有不動點(diǎn)（1，1）和（-3，-3）求與的值；
（2）若對于任意實數(shù)，函數(shù)總有兩個相異的不動點(diǎn)，求 的取值范圍；
（3）若定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)存在（有限的） 個不動點(diǎn)，求證：必為奇數(shù)。

Answer 1

（1），（2）（3）見解析

（1）由不動點(diǎn)的定義：，∴…….1’
代入知，又由及知�！�…………………...2’
∴，。          …………………………....................1’
（2）對任意實數(shù)，總有兩個相異的不動點(diǎn)，即是對任意的實數(shù)，方程總有兩個相異的實數(shù)根。...........1’
∴中，
即恒成立�！�……………………....................2’
故，∴。………….........................2’
故當(dāng)時，對任意的實數(shù)，方程總有兩個相異的不動點(diǎn)。 ………...................1’
（3）是R上的奇函數(shù)，則，∴（0，0）是函數(shù)的不動點(diǎn)。 ……..................1’
若有異于（0，0）的不動點(diǎn)，則。
又，∴是函數(shù)的不動點(diǎn)。
∴的有限個不動點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對出現(xiàn)的，        ..........................4’
所以有個（），加上原點(diǎn)，共有個。即必為奇數(shù)