Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知動點到定點的距離與到定直線的距離之比為．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）已知為定直線上一點.

①過點作的垂線交軌跡于點（不在軸上），求證：直線與的斜率之積是定值；

②若點的坐標為，過點作動直線交軌跡于不同兩點，線段上的點滿足，求證：點恒在一條定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）①直線與的斜率之積為定值．

②點在定直線上．

【解析】試題分析：（1）設動點坐標，直接利用軌跡方程定義計算即可；（2），

①令，由，得，即，即，又因為點在橢圓上，所以，而的斜率分別為，于是，即直線與的斜率之積為定值； ②令，則，代入橢圓，消元即可證明點在定直線上．

試題解析：（1）設，則，點到直線的距離，

由，得，化簡得，

即點在軌跡的方程為；

（2）因為為直線上一點，所以令，

①令，由，得，即，即，

又因為點在橢圓上，所以，

而的斜率分別為，

于是，

即直線與的斜率之積為定值

．

②令，則，

令點，則，

即，即

由①×③，②×④，得，

因為在橢圓上，所以，

⑤×2+⑥×3，得

，即，

所以點在定直線上．

本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．