Question

（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．求出C的方程及其離心率e的大小；
（2）已知橢圓的一個頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上．若右焦點(diǎn)到直線x-y+2

2

=0的距離為3．求橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)已知條件及橢圓的定義即知，點(diǎn)P的軌跡為以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點(diǎn)，長半軸長為2的橢圓，所以得到對半軸長為1，所以C的方程為x2+

y2

4

=1，并且可求得離心率e=

3

2

；
（2）可設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，并且可得b=1，右焦點(diǎn)為（c，0），而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出c=

2

，所以得到a²=3，所以所求橢圓方程便是

x2

3

+y2=1．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點(diǎn)，長半軸長為2的橢圓；
它的短半軸長b=

22-( 3 )2

=1；
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1；
a=2，c=

3

，所以離心率e=

c

a

=

3

2

；
（2）設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)；
依題意有，b=1；
右焦點(diǎn)（c，0）到直線x-y+2

2

=0的距離為3；
∴

|c-0+2 2 |

12+12

=3，解得c=

2

或c=-4

2

（舍去）；
∴a²=b²+c²=1+2=3；
∴所求橢圓方程為

x2

3

+y2=1．

點(diǎn)評：考查橢圓的定義，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的離心率的定義，以及橢圓的頂點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式及a²=b²+c²．