Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，，．
（1）若，求直線PB與PD所成角的正弦值；
（2）是否存在實數(shù)λ，使得直線A₁C⊥平面PBD？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示點，從而可得向量的坐標，利用向量的夾角公式，即可求得直線PB與PD所成角的正弦值；
（2）假設存在符合條件的實數(shù)λ，驗證A₁C⊥BD．要使A₁C⊥平面PBD，只需BP⊥A₁C，利用，即可求得實數(shù)λ．
解答：解：（1）如圖，分別以DA，DC，D D₁為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系O-xyz，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），D₁（0，0，1），
由得，
所以，
所以，
所以，直線PB與PD所成角的正弦值為．（5分）
（2）假設存在符合條件的實數(shù)λ，
因為，所以，故A₁C⊥BD．
要使A₁C⊥平面PBD，只需BP⊥A₁C，由得P（1-λ，λ，1-λ），
此時，由得．（10分）
點評：本題主要考查空間向量的應用，考查線線角，考查線面垂直，考查運算求解能力，屬于中檔題．