Question

15．已知直線l：$\sqrt{2}$ax+by=1與圓x²+y²=1相交于A、B兩點（其中a，b為實數(shù)），點Q（0，$\frac{2}{3}$）是圓內(nèi)的一定點．
（1）若a=$\sqrt{2}$，b=1，求△AOB的面積；
（2）若△AOB為直角三角形（O為坐標原點），求點P（a，b）與點Q之間距離最大時的直線l方程；
（3）若△AQB為直角三角形，且∠AQB=90°，試求AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由點到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，進一步求得|AB|，然后代入三角形的面積公式得答案；
（2）在直角三角形AOB中，求得|AB|，再由點到直線的距離公式得到a，b的關(guān)系，把|PQ|用含有b的代數(shù)式表示，通過配方法求得點P（a，b）與點Q之間距離最大時的a，b的值，則直線l的方程可求；
（3）設(shè)出M的坐標，利用圓中的垂徑定理列式求得AB中點M的軌跡方程．

解答 解：（1）由已知直線方程為2x+y=1，圓心到直線的距離$d=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$|AB|=2\sqrt{1-s5zbjp6^{2}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}|AB|•d=\frac{2}{5}$；
（2）∵△AOB為直角三角形，∴|AB|=$\sqrt{2}$，
∴圓心到直線的距離為$\frac{1}{\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}}=\frac{1}{2}|AB|=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即2a²+b²=2，
∵2-b²=2a²≥0，∴$-\sqrt{2}≤b≤\sqrt{2}$，
$|PQ|=\sqrt{{a}^{2}+（b-\frac{2}{3}）^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}^{2}-\frac{4}{3}b+\frac{13}{9}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（b-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{5}{9}}$，
當(dāng)$b=-\sqrt{2}$時可取最大值，此時a=0，
∴直線l方程為$\sqrt{2}y+1=0$；
（3）設(shè)M（x，y），連OB，OM，OQ，則由“垂徑定理”知：
M是AB的中點，則OM⊥AB，∴|OM|²+|MB|²=|OB|²，
又在直角三角形AQB中，$|QM|=|AM|=|BM|=\frac{1}{2}|AB|$，
∴|OM|²+|QM|²=|OB|²，
即${x}^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}+（y-\frac{2}{3}）^{2}=1$，
∴M點的軌跡方程為：${x}^{2}+{y}^{2}-\frac{2}{3}y-\frac{5}{18}=0$．

點評 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了點到直線的距離公式，訓(xùn)練了平面幾何中垂徑定理的應(yīng)用，考查了計算能力，是中檔題．