Question

5．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{x}$+2x（a、b∈R）兩個(gè)極值點(diǎn)分別在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）和（1，2）內(nèi)，則z=a+b的取值范圍是（-10，-4）．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系建立不等式組，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{x}^{2}}$+2，
若兩個(gè)極值點(diǎn)分別在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）和（1，2）內(nèi)，
則f′（x）=0的根在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，1）和（1，2）內(nèi)，
則等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{f′（\frac{1}{2}）＞0}\\{f′（1）＜0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2a-4b+2＞0}\\{a-b+2＜0}\\{\frac{a}{2}-\frac{4}+2＞0}\end{array}\right.$
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=a+b，得b=-a+z，
平移直線b=-a+z，由圖象知當(dāng)直線b=-a+z，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的截距最大，此時(shí)z最大，
經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的截距最小，此時(shí)z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{a-2b+1=0}\\{a-b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，即C（-3，-1），此時(shí)z=-3-1=-4，
由$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{\frac{a}{2}-\frac{4}+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=-4}\end{array}\right.$，即B（-6，-4），此時(shí)z=-6-4=-10，
即-10＜z＜-4，
故答案為：（-10，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系以及不等式的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．