Question

設(shè)函數(shù)f（x）=cos（2x+

2π

3

）+2cos²x
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（-

π

2

，0]時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將函數(shù)進行化簡，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的角的取值范圍即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x+

2π

3

）+2cos²x=-

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1+cos2x=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+1=cos（2x+

π

3

）+1，
由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞減為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z．
（2）若x∈（-

π

2

，0]，在2x+

π

3

∈（-

2π

3

，

π

3

]，
則-

1

2

＜cos（2x+

π

3

）≤1，
則

1

2

＜cos（2x+

π

3

）+1≤2，
即函數(shù)f（x）的值域為（

1

2

，2]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和值域的求解，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．