Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2n-a_n，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由數(shù)列遞推式S_n=2n-a_n得到S_n-1=2（n-1）-a_n-1，兩式作差后構(gòu)造型的等比數(shù)列∴{a_n-2}，由等比數(shù)列的通項公式求得答案．

解答： 解：由S_n=2n-a_n  ①
得S_n-1=2（n-1）-a_n-1 （n≥2）②
①-②得：2a_n=a_n-1+2，
∴an-2=

1

2

(an-1-2) （n≥2），
又S₁=a₁=2×1-a₁，得a₁=1．
∴{a_n-2}構(gòu)成以-1為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
∴an-2=-1×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n-1，
an=2-(

1

2

)n-1．
當(dāng)n=1時上式成立．
∴an=2-(

1

2

)n-1．
故答案為：2-(

1

2

)n-1．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式，考查了a_n=pa_n-1+q型遞推式的通項公式的求法，關(guān)鍵是構(gòu)造出新的等比數(shù)列，是中檔題．