Question

（本小題滿分14分）

Monte-Carlo方法在解決數(shù)學(xué)問題中有廣泛的應(yīng)用。下面是利用Monte-Carlo方法來計(jì)算定積分。考慮定積分，這時等于由曲線，軸，所圍成的區(qū)域M的面積，為求它的值，我們在M外作一個邊長為1正方形OABC。設(shè)想在正方形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲個點(diǎn)，若個點(diǎn)中有個點(diǎn)落入中，則的面積的估計(jì)值為，此即為定積分的估計(jì)值I。向正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，有個點(diǎn)落入?yún)^(qū)域M

(1)若=2099，計(jì)算I的值，并以實(shí)際值比較誤差是否在5%以內(nèi)

(2)求的數(shù)學(xué)期望

(3)用以上方法求定積分，求I與實(shí)際值之差在區(qū)間（—0.01,0.01）的概率

附表：

n	1899	1900	1901	2099	2100	2101
P(n)	0.0058	0.0062	0.0067	0.9933	0.9938	0.9942

Answer 1

解: （1）若=2099,則

而=                        …………………………2分

 ∴估計(jì)值與實(shí)際值的誤差為:

即估計(jì)值與實(shí)際值的誤差在5%以內(nèi)              ………………………4分

（2）由題意,每一次試驗(yàn)?zāi)軌蚵淙雲(yún)^(qū)域M中的概率為0.2, 投擲10000個點(diǎn)有個點(diǎn)落入?yún)^(qū)域M內(nèi)，則                    …………………………7分

    ∴                   …………………………9分

（3）I與實(shí)際值之差在區(qū)間（—0.01,0.01）的概率為

=0.9871                  …………………………14分