Question

已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，GC⊥平面ABCD，GC=2，求三棱錐B-EFG的高．

Answer 1

考點：棱錐的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：利用題設條件推導出BD∥平面EFG，從而得到BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離，作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．

解答： 解：如圖，連接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．
因為ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點，故EF∥BD，H為AO的中點．
由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，
所以BD和平面EFG的距離就是點B到平面EFG的距離．
∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．
∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，
∵HC∩GC=C，∴EF⊥平面HCG．
∵EF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個垂直平面的交線．
作OK⊥HG交HG于點K，由兩平面垂直的性質定理知OK⊥平面EFG，
所以線段OK的長就是點B到平面EFG的距離．
∵正方形ABCD的邊長為4，GC=2，
∴AC=4

2

，HO=

2

，HC=3

2

．
∴在Rt△HCG中，HG=

22

由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個銳角是公共的，
故Rt△HKO∽△HCG．
∴OK=

HO•GC

HG

=

2 ×2

22

=

2 11

11

．
即點B到平面EFG的距離為

2 11

11

．

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系、點到平面的距離等有關知識，考查學生的空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．解決此類問題應該注意從三維空間向二維平面的轉化，從而找到解題的捷徑．