Question

已知圓O：x²+y²=4．
（1）直線l₁：

3

x+y-2

3

=0與圓O相交于A、B兩點，求|AB|；
（2）如圖，設(shè)M（x₁，y₁）、P（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點，點M關(guān)于原點的對稱點為M₁，點M關(guān)于x軸的對稱點為M₂，如果直線PM₁、PM₂與y軸分別交于（0，m）和（0，n），問m•n是否為定值？若是求出該定值；若不是，請說明理由；
（3）過O點任作一直線與直線x=4交于E點，過（2，0）點作直線與OE垂直，并且交直線x=4于F點，以EF為直徑的圓是否過定點，如過定點求出其坐標(biāo)，如不過，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）先求出圓心（0，0）到直線：

3

x+y-2

3

=0的距離，再利用弦長公式求得弦長AB的值．
（2）先求出M₁和點M₂的坐標(biāo)，用兩點式求直線PM₁ 和PM₂的方程，根據(jù)方程求得他們在y軸上的截距m、n的值，計算mn的值，可得結(jié)論．
（3）設(shè)直線OE的方程為y=kx，且E（4，4k），設(shè)與OE垂直的直線l：  y=-

1

k

(x-2)，由此利用已知條件能推導(dǎo)出以EF為直徑的圓過定點(4±2

2

，0)．

解答： 解：（1）∵圓O：x²+y²=4圓心的圓心O（0，0），半徑r=2，
圓心O（0，0）到直線l₁：

3

x+y-2

3

=0的距離d=

|0+0-2 3 |

3+1

=

3

．
∴|AB|=2

22-( 3 )2

=2．…4分
（2）∵M（x₁，y₁）、p（x₂，y₂）是圓O上的兩個動點，
∴M₁（-x₁，-y₁），N（x₁，-y₁），且x12+y12=4，x22+y22=4，…（6分）
根據(jù)PM₁的方程為

y+y1

y2+y1

=

x+x1

x2+x1

，令x=0，得y=m=

x1y2-x2y1

x2+x1

．
根據(jù)PM₂的方程為：

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

，令x=0，得y=n=

-x1y2-x2y1

x2-x1

．…（8分）
∴m•n=

x22y12-x12y22

x22-x12

=

x22(4-x12)-x12(4-x22)

x12-x22

=4，
∴m•n為定值4．…（10分）
（3）解：設(shè)直線OE的方程為y=kx，且E（4，4k）
設(shè)與OE垂直的直線為l∴l：  y=-

1

k

(x-2)
令x=4，  y=-

2

k

∴F(4，-

2

k

)…（12分）
設(shè)M（x₀，y₀）為圓上一點，以EF為直徑，
∴

ME

•

MF

=0，∴(4-x0)2+(4k-y0)•(-

2

k

-y0)=0…（14分）
由對稱性可知，定點必在x軸上，∴y₀=0，
即(4-x0)2-4k•

2

k

=0，∴x0=4±2

2

，
∴以EF為直徑的圓過定點(4±2

2

，0)．…（16分）

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式，用兩點式求直線的方程、求直線在y軸上的截距，考查圓是否過定點的判斷及定點坐標(biāo)的求法．