Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為

2

2

，過點(diǎn)B（0，-2）及左焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)設(shè)為F₂．
（1）求橢圓的方程；
（2）求△CDF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的基本概念和平方關(guān)系，建立關(guān)于a、b、c的方程，解出a=

2

，b=c=1，從而得到橢圓的方程；
（2）求出F₁B直線的斜率得直線F₁B的方程為y=-2x-2，與橢圓方程聯(lián)解并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系算出|x₁-x₂|=

2 2

9

，結(jié)合弦長公式可得|CD|=

10

9

2

，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出F₂到直線BF₁的距離d，即可得到△CDF₂的面積．

解答：解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，1），離心率為

2

2

，
∴b=

a2-c2

=1，且

c

a

=

2

2

，解之得a=

2

，c=1
可得橢圓的方程為

x2

2

+y2=1； …（4分）
（2）∵左焦點(diǎn)F₁（-1，0），B（0，-2），得F₁B直線的斜率為-2
∴直線F₁B的方程為y=-2x-2
由

y=-2x-2 x2 2 +y2=1

，化簡得9x²+16x+6=0．
∵△=16²-4×9×6=40＞0，
∴直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)為C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則

x1+x2=- 16 9 x1•x2= 2 3

∴|CD|=

1+(-2)2

|x₁-x₂|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

(- 16 9 )2-4× 2 3

 =

10

9

2

又∵點(diǎn)F₂到直線BF₁的距離d=

|-2-2|

5

=

4 5

5

，
∴△CDF₂的面積為S=

1

2

|CD|×d=

1

2

×

10

9

2

×

4 5

5

=

4 10

9

．

點(diǎn)評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程并求三角形的面積．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓角曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．