Question

【題目】已知數(shù)列滿足，，其中常數(shù)．

（Ⅰ）若，求的取值范圍；

（Ⅱ）若，求證：對(duì)于任意的，均有；

（Ⅲ）當(dāng)常數(shù)時(shí)，設(shè)，若存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用，得到，然后結(jié)合條件建立不等式，通過(guò)分類討論，求解不等式；

（Ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法，證明結(jié)論成立；

（Ⅲ）利用數(shù)學(xué)歸納法，證明不等式成立，進(jìn)而求出的取值范圍．

解：（Ⅰ）由已知得時(shí)，

∴

∵，∴

若，則，則或．

若，則，則或．

（Ⅱ）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)時(shí)，成立

假設(shè)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)

∵，∴

∴

即時(shí)命題也成立

∴對(duì)任意的均有．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)時(shí)，成立

假設(shè)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)

∴．

即時(shí)，命題也成立

∴對(duì)有

∴

易知不存在使恒成立．

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知

若存在，則對(duì)，，對(duì)任意，恒成立

而對(duì)，則必不存在，否則將推出，矛盾．

∵，∴

∴，

∴

∵，∴

又，∴，∴

故存在使得恒成立

綜上所述，