Question

9．已知實(shí)數(shù)a＞0，定義域?yàn)椋?1，1）的函數(shù)f（x）=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$+a$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$；
（1）當(dāng)a=1時(shí)，用定義判定f（x）的奇偶性并求（x）的最小值．
（2）用定義證明函數(shù)g（x）=x+$\frac{k}{x}$（k＞0）在（0，$\sqrt{k}$）上單調(diào)遞減，則（$\sqrt{k}$，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）利用（2）的結(jié)論求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)于區(qū)間[0，$\frac{4}{5}$]上的任意三個(gè)實(shí)數(shù)r，s，t，都存在以f（r），f（s），f（t）為邊長(zhǎng)的三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷函數(shù)的奇偶性，化簡(jiǎn)函數(shù)，即可求f（x）的最小值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法進(jìn)行證明；
（3）利用換元法將結(jié)合（2）的結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間$[\frac{1}{3}，1]$上，恒有2y_min＞y_max．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$+$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，定義域?yàn)椋?1，1），
則f（-x）=$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$+$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$=f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
f（x）=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$+$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$=$\frac{1-x+1+x}{\sqrt{1+x}•\sqrt{1-x}}$=$\frac{2}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
∵x∈（-1，1），∴1-x²∈（0，1]，
∴$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈（0，1]，
∴當(dāng)$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1時(shí)，f（x）取得最小值為2；
（2）設(shè) 0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{k}$，則 f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{k}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{k}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-k}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
由0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{k}$，可得（x₁-x₂）＜0，0＜x₁x₂＜k，
∴（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-k}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)在（0，$\sqrt{k}$）上單調(diào)遞減．
 設(shè) $\sqrt{k}$＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-k}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)在（$\sqrt{k}$，+∞））上單調(diào)遞增．
（3）設(shè)t=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，則當(dāng)x∈[0，$\frac{4}{5}$]時(shí)，可得$t∈[\frac{1}{3}，1]$，∴$y=t+\frac{a}{t}（\frac{1}{3}≤t≤1）$
從而原問題等價(jià)于求實(shí)數(shù)a的范圍，使得在區(qū)間$[\frac{1}{3}，1]$上，恒有2y_min＞y_max．
①當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{9}$時(shí)，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，1]$上單調(diào)遞增，
∴${y_{min}}=3a+\frac{1}{3}，{y_{max}}=a+1$，
由2y_min＞y_max得$a＞\frac{1}{15}$，
從而$\frac{1}{15}＜a≤\frac{1}{9}$； 
②當(dāng)$\frac{1}{9}＜a≤\frac{1}{3}$時(shí)，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，\sqrt{a}]$上單調(diào)遞減，在$[\sqrt{a}，1]$上單調(diào)遞增，
∴${y_{min}}=2\sqrt{a}，{y_{max}}=max\{3a+\frac{1}{3}，a+1\}=a+1$，
由2y_min＞y_max得$7-4\sqrt{3}＜a＜7+4\sqrt{3}$，
從而$\frac{1}{9}＜a≤\frac{1}{3}$；
③當(dāng)$\frac{1}{3}＜a＜1$時(shí)，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，\sqrt{a}]$上單調(diào)遞減，在$[\sqrt{a}，1]$上單調(diào)遞增，
∴y_min=2$\sqrt{a}$，y_max=a+1，
由2y_min＞y_max得$\frac{{7-4\sqrt{3}}}{9}＜a＜\frac{{7+4\sqrt{3}}}{9}$，從而$\frac{1}{3}＜a＜1$； 
④當(dāng)a≥1時(shí)，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，1]$上單調(diào)遞減，
∴${y_{min}}=a+1，{y_{max}}=3a+\frac{1}{3}$，
由2y_min＞y_max得$a＜\frac{5}{3}$，從而$1≤a＜\frac{5}{3}$；
綜上，$\frac{1}{15}＜a＜\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)y=x+$\frac{k}{x}$（k＞0）的單調(diào)性的證明和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，運(yùn)算量較大，屬于難題．