Question

如圖所示，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的四個頂點A₁、A₂、B₁、B₂，F(xiàn)為右焦點，直線A₁B₂與B₁F交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為OT的中點，則該橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出直線A₁B₂的方程為

x

-a

+

y

b

=1，直線B₁F的方程為

x

c

+

y

-b

=1，聯(lián)立兩直線的方程，解出點T的坐標(biāo)，進而表示出中點M的坐標(biāo)，代入橢圓的方程即可解出離心率的值．

解答： 解：由題意，可得直線A₁B₂的方程為

x

-a

+

y

b

=1，直線B₁F的方程為

x

c

+

y

-b

=1
兩直線聯(lián)立則點T（

2ac

a-c

，

b(a+c)

a-c

），則M（

ac

a-c

，

b(a+c)

2(a-c)

），
由于此點在橢圓上，故有

c2

(a-c)2

+

(a+c)2

4(a-c)2

=1，
整理得3a²-10ac-c²=0
即e²+10e-3=0，解得e=2

7

-5
故答案為：2

7

-5．

點評：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．