Question

已知向量

a

=(

3

cosx，cosx），

b

=（0，sinx），

c

=（sinx，cosx），

d

=（sinx，sinx）．
（Ⅰ）當(dāng)x=

π

4

時，求向量

a

、

b

的夾角；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求

c

•

d

的最大值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）x=

π

4

帶入向量

a

，

b

，即可求得

a

，

b

坐標(biāo)，而根據(jù)坐標(biāo)即可求向量

a

，

b

夾角的余弦值，根據(jù)余弦值即可求得向量

a

，

b

夾角；
（Ⅱ）求出

c

•

d

=

1

2

+

1

2

(sin2x-cos2x)，而根據(jù)兩角差的正弦公式得到，

c

•

d

=

1

2

+

2

2

sin(2x-

π

4

)，所以根據(jù)x的范圍[0，

π

2

]可求出2x-

π

4

的范圍[-

π

4

，

3

4

π]，根據(jù)正弦函數(shù)的最大值即可求得

c

•

d

的最大值．

解答： 解：（I）∵x=

π

4

，∴

a

=(

6

2

，

2

2

)，

b

=(0，

2

2

)；
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1 2

2 • 2 2

=

1

2

；
∴向量

a

，

b

的夾角為

π

3

；
（Ⅱ）

c

•

d

=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

+

2

2

(sin2x•cos

π

4

-cos2x•sin

π

4

)=

1

2

+

2

2

sin(2x-

π

4

)；  …（10分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴(2x-

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]；
∴當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時，

c

•

d

取最大值

1+ 2

2

．

點評：考查向量夾角余弦值的坐標(biāo)運算，以及兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的最大值．