Question

已知sin（3π-α）=

2

cos（

3

2

π+β），

3

sin（

π

2

-α）=-

2

sin（

3π

2

+β），且0＜α＜π，0＜β＜π，求sinα，cosβ．

Answer 1

考點：運用誘導(dǎo)公式化簡求值,三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用誘導(dǎo)公式可得sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，利用平方關(guān)系可得sin²α+3cos²α=2（sin²β+cos²β）=2，cosα=±

2

2

．再利用0＜α＜π，可得α=

π

4

或

3π

4

．即可解出sinα，cosβ．

解答： 解：∵sin（3π-α）=

2

cos（

3

2

π+β），

3

sin（

π

2

-α）=-

2

sin（

3π

2

+β），
∴sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，
∴sin²α+3cos²α=2（sin²β+cos²β）=2，
化為cos²α=

1

2

，∴cosα=±

2

2

．
∵0＜α＜π，∴α=

π

4

或

3π

4

．
當(dāng)α=

π

4

時，∵sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，0＜β＜π，
∴sinα=

2

2

，cosβ=

3

2

．
當(dāng)α=

3π

4

時，∵sinα=

2

sinβ，

3

cosα=

2

cosβ，0＜β＜π，
∴sinα=

2

2

，cosβ=-

3

2

．

點評：本題考查了誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)值所在象限的符號，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．