Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx，（a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底，e≈2.71828）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）＞0在區(qū)間（0，

1

2

）上恒成立，求a的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)求出f′（x），然后在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0；
（2）對(duì)任意的f（x）＞0在區(qū)間（0，

1

2

）上恒成立，等價(jià)于對(duì)x∈（0，

1

2

），成立，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最值；

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1-2lnx，則f′（x）=1-

2

x

，
由f′（x）＞0，x＞2；f′（x）＜0，得0＜x＜2． 
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，2]，單調(diào)增區(qū)間為（2，+∞）；
（2）對(duì)任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即對(duì)x∈（0，

1

2

），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，
令g（x）=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
則g′（x）=

2lnx+ 2 x -2

(x-1)2

，
再令h（x）=21nx+

2

x

-2，x∈（0，

1

2

），則h′（x）=

2(x-1)

x2

＜0，
故h（x）在（0，

1

2

）上為減函數(shù)，
于是h（x）＞h（

1

2

）=2-2ln2＞0，
從而，g′（x）＞0，于是g （x）在（0，

1

2

）上為增函數(shù)，
所以g（x）＜g（

1

2

）=2-41n2，
故要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只需a≥2-41n2．
∴a的最小值為2-4ln2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)最值，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，函數(shù)恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，屬于中檔題．