Question

20．在等比數(shù)列{a_n}中，公比q≠1，等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁=3，b₄=a₂，b₁₃=a₃
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=（-1）ⁿb_n+a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過b₁=a₁=3可知b₄=a₂=3q、b₁₃=a₃=3q²，利用數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列計算可知q=3，進而計算可得結論；
（2）通過（1）可知c_n=（-1）ⁿ（2n+1）+（2n+1）3ⁿ，通過與分組求和，和錯位相加法和分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可．

解答 解∴（1）設等差數(shù)列{b_n}的公差為d，由已知得：
a₂=3q，a₃=3q²，b₄=3+3d，b₁₃=3+12d．
即$\left\{\begin{array}{l}{3q=3+3d}\\{3{q}^{2}=3+12d}\end{array}\right.$，
解得d=2，q=3，
∴a_n=3ⁿ，b_n=2n+1．
（2）由（1）可知c_n=（-1）ⁿb_n+a_nb_n=（-1）ⁿ（2n+1）+（2n+1）3ⁿ，
設{a_nb_n}的前n項和為R_n，
則R_n=3×3+5×3²+…（2n+1）3ⁿ，
∴3R_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）×3ⁿ+（2n+1）×3ⁿ⁺¹，
∴-2R_n=3×3+2×3²+2×3³+…+2×3ⁿ-（2n+1）×3ⁿ⁺¹
=3+2（3+3²+…3ⁿ）-（2n+1）3ⁿ⁺¹=3+2×$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-（2n+1）×3ⁿ⁺¹=-2n×3ⁿ⁺¹
∴R_n=n×3ⁿ⁺¹，
設{（-1）ⁿb_n}的前n項和為T_n，
∴T_n=（-3+5）+（-7+9）+…+（-1）^n-1（2n-1），
當n為偶數(shù)時，T_n=n，
當n為奇數(shù)時，T_n=-n-2
綜上所述S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n+n×{3}^{n+1}，n為偶數(shù)}\\{-n-2+n×{3}^{n+1}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．