Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點
（1）求證：GN⊥AC；
（2）當FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP∥平面FMC．并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，則
（1）連接DB，我們易得FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，由線面垂直的判定定理，可得FD⊥面ABCD，進而得到AC⊥面FDN，由線面垂直的定義，即可得到GN⊥AC；
（2）由圖分析得，點P與點A重合時，GP∥面FMC，取DC中點S，連接AS、GS、GA由三角形中位線宣，我們易證明出面GSA∥面FMC，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，我們易得GA∥面FMC，即P與A重合．
解答：證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC
（1）連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN
又FD⊥AD，F(xiàn)D⊥CD，
∴FD⊥面ABCD
∴FD⊥AC
∴AC⊥面FDN，GN?面FDN
∴GN⊥AC
（2）點P與點A重合時，GP∥面FMC
證明：取DC中點S，連接AS、GS、GA
∵G是DF的中點，
∴GS∥FC，AS∥CM
∴面GSA∥面FMC
GA?面GSA
∴GA∥面FMC
即GP∥面FMC
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，簡單空間圖形的三視圖，其中根據(jù)三視圖，判斷出該幾何體為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC，是解答本題的關(guān)鍵．