Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB為直
徑的圓，DC的延長線與AB的延長線交于點E．
（Ⅰ）求證：DC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若EB=6，EC=6，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先得出點C在⊙O上，連接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，從而OC∥AD，結合AD⊥DC得出DC⊥OC，從而DC是⊙O的切線
（Ⅱ）利用切割線定理求出EA=12，再證出△ECB∽△EAC，得出AC=BC，在RT△ACB中求解．
解答：（Ⅰ）證明：∵⊙O是以AB為直徑的圓，∠ACB=90°，∴點C在⊙O上，連接OC，可得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD，
又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC，∵OC為半徑，∴DC是⊙O的切線．
（Ⅱ）解：∵DC是⊙O的切線，∴EC²=EB•EA，又∵EB=6，EC=6，∴EA=12．
∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴，AC=BC，
∵AC²+BC²=AB²=36，∴BC=
點評：本題考查圓的切線的證明，與圓有關的線段求解．需掌握切割線定理、弦切角定理等知識．