Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=S_n+2，則滿足$\frac{S_n}{{{S_{2n}}}}＜\frac{1}{10}$的n的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形為S_n+1=2S_n+2，構(gòu)造出數(shù)列{S_n+2}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求得S_n，代入$\frac{S_n}{{{S_{2n}}}}＜\frac{1}{10}$得答案．

解答 解：由a_n+1=S_n+2，得S_n+1-S_n=S_n+2，
∴S_n+1=2S_n+2，則S_n+1+2=2（S_n+2），
∵S₁+2=a₁+2=3，
∴數(shù)列{S_n+2}構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
則${S}_{n}+2=3•{2}^{n-1}$，即${S}_{n}=3•{2}^{n-1}-2$
由$\frac{S_n}{{{S_{2n}}}}＜\frac{1}{10}$，得$\frac{3•{2}^{n-1}-2}{3•{2}^{2n-1}-2}$＜$\frac{1}{10}$，得2²ⁿ-10•2ⁿ+12＞0，
解得：${2}^{n}＜5-\sqrt{13}$（舍），或${2}^{n}＞5+\sqrt{13}$．
∴n的最小值為4．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．