Question

13．某校社團聯(lián)即將舉行一屆象棋比賽，規(guī)則如下：兩名選手比賽時，每局勝者得1分，負者得0分，不出現(xiàn)平局，且比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時結束．假設選手甲與選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為$\frac{3}{4}$，且各局比賽勝負互不影響．
（Ⅰ）求比賽進行4局結束，且甲比乙多得2分的概率；
（Ⅱ）設ξ表示比賽結束時已比賽的局數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）比賽進行4局結束，且乙比甲多得2分，即頭兩局乙勝一局，3、4局連勝，利用相互獨立性概率公式，可得結論；
（2）隨機變量ξ可能的取值為2，4，6，求出相應的概率，可得ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（1）比賽進行4局結束，且甲比乙多得2分，即頭兩局甲勝一局，3、4局連勝，
則所求概率為P=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{4}）（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）（\frac{3}{4}）$=．
（2）由題意，ξ的取值為2，4，6，則
P（ξ=2）=（$\frac{3}{4}$）²+（$\frac{1}{4}$）²=$\frac{5}{8}$，
P（ξ=4）=${C}_{2}^{1}$（$\frac{1}{4}$）（$\frac{3}{4}$）（$\frac{3}{4}$）²+${C}_{2}^{1}$（$\frac{1}{4}$）（$\frac{3}{4}$）（$\frac{1}{4}$）²=$\frac{15}{64}$，
P（ξ=6）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）$•${C}_{2}^{1}（\frac{1}{4}）（\frac{3}{4}）$=$\frac{9}{64}$，
∴ξ的分布列

ξ	2	4	6
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{9}{64}$

數(shù)學期望Eξ=2×$\frac{5}{8}$+$4×\frac{15}{64}$+$6×\frac{9}{64}$=$\frac{97}{32}$．

點評 本題考查概率知識，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，確定變量的取值，正確求概率是關鍵．