Question

（2012•樂山二模）已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象過點M（0，2），又f（x）的圖象關(guān)于點N（

3π

4

，0）對稱，且在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)，則f（x）=（　　）

• A．2cosx
• B．2cos2x
• C．2cos

  2

  3

  x
• D．2cos

  x

  3

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是R上的偶函數(shù)，求得φ=

π

2

．由于函數(shù)的圖象過點M（0，2），求得 A=2，可得函數(shù)y=2cosωx．再由f（x）的圖象關(guān)于點N（

3π

4

，0）對稱，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z ①．根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)求得ω≤1②，檢驗各個選項中的函數(shù)是否同時滿足①②，從而得出結(jié)論．

解答：解：根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，故φ=

π

2

．
由于函數(shù)的圖象過點M（0，2），可得Asinφ=Asin

π

2

=2，∴A=2，故函數(shù)y=2cosωx．
再由f（x）的圖象關(guān)于點N（

3π

4

，0）對稱，可得ω•

3π

4

+

π

2

=kπ，k∈z ①．
根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上是減函數(shù)可得它的周期

2π

ω

≥2π，∴ω≤1，故排除B．
經(jīng)過檢驗，ω=1和ω=

1

3

，都不滿足①，故排除A，D，而ω=

2

3

滿足①，
故選C．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，復(fù)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．