【題目】已知定義在R的函數(shù)f(x)滿足以下條件:
①對任意實數(shù)x,y恒有f(x+y)=f(x)f(y)+f(x)+f(y);
②當x>0時,f(x)>0;
③f(1)=1.
(1)求f(2),f(0)的值;
(2)若f(2x)﹣a≥af(x)﹣5對任意x恒成立,求a的取值范圍;
(3)求不等式 的解集.
【答案】
(1)解:令x=y=1可得f(2)=f(1)f(1)+2f(1)=3,
令x=y=0可得f(0)=f(0)f(0)+2f(0),則f(0)=0或f(0)=﹣1,
令x=1,y=0可得f(1)=f(1)f(0)+f(0)+f(1),若f(0)=﹣1,則f(1)=f(0)=﹣1與已知矛盾,∴f(0)=0
(2)解:f(2x)﹣a≥af(x)﹣5對任意x恒成立f2(x)+2f(x)﹣a≥af(x)﹣5對任意x恒成立,
令f(x)=t,以下探討f(x)=t的取值范圍.
令y=﹣x可得f(0)=f(﹣x)f(x)+f(x)+f(﹣x)f(x)= ,
當x<0時,f﹣x)>0,則﹣1<f(x)= <0,
∴x∈R時,f(x)=t∈(﹣1,+∞).
原不等式等價于:t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈(﹣1,+∞)恒成立,
即tt2+2t+5≥(t+1)aa≤ .
g(t)= ,當t=1時取等號.
∴a≤4.
(3)解:由(2)可得f(x)∈(﹣1+∞),f(x+1)∈(﹣1+∞),
f(f(x))≥ [1+f(x+1)]f(f(x))≥7﹣f(x+1)
f(x+1)[1+f(x+1)]f(f(x))≥7﹣f(x+1)
f(x+1)+f(x+1)f(f(x))+f(f(x))≥7f(x+1+f(x))≥7.
下面證明y=f(x)的單調(diào)性:
任取x1,x2∈R,且x1>x2,f(x1﹣x2)>0,f(x2)>﹣1
則f(x1)﹣f(x2)=f(x1﹣x2+x2)﹣f(x2)=f(x1﹣x2)f(x2)+f(x1﹣x2)=f(x1﹣x2)[f(x2)+1]>0
所以函數(shù) y=f(x)在R上單調(diào)遞增,
∵f(3)═f(1)f(2)+f(2)+f(1)=7,
∴f(x+1+f(x))≥7.f(x+1+f(x))≥f(3)x+1+f(x)≥3
令F(x)=x+1+f(x),F(xiàn)(x)在R上單調(diào)遞增,且F(1)=3
x+1+f(x)≥3F(x)≥F(3)x≥1,
所以原不等式解集為:[1,+∞)
【解析】(1)本題考查的是函數(shù)解析式以及特殊值代入法解決問題;(2)本小題考查的是基本不等式的變形應(yīng)用以及拼湊法的使用。(3)利用函數(shù)的單調(diào)性定義的證明過程去解決最基本的不等式問題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,若存在常數(shù)M>0,使得|f(x)|≤M|x|對一切的實數(shù)x都成立,則稱f(x)為“倍約束函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù): ①f(x)=2x,
②f(x)=x2+1,
③f(x)=sinx+cosx,
④f(x)= ,
⑤f(x)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù),且對一切的x1 , x2均有|f(x1)﹣f(x2)|≤2|x1﹣x2|.
其中是“倍約束函數(shù)”的有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)(x>0)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若xf′(x)+f(x)=ex , 且f(1)=e,則( )
A.f(x)的最小值為e??
B.f(x)的最大值為e
C.f(x)的最小值為 ??
D.f(x)的最大值為
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),等比數(shù)列{bn}的公比為q,a1=b1=1,a2=b2 , a5=b3 .
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)若cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在[﹣1,1]上的奇函數(shù)f(x)滿足當0<x≤1時,f(x)= ,
(1)求f(x)在[﹣1,1]上的解析式;
(2)判斷并證明f(x)在[﹣1,0)上的單調(diào)性;
(3)當x∈(0,1]時,方程 ﹣2x﹣m=0有解,試求實數(shù)m的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= ,BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C=90°
C.CA′與平面A′BD所成的角為30°
D.四面體A′﹣BCD的體積為
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】己知下列三個方程x2+4ax﹣4a+3=0,x2+(a﹣1)x+a2=0,x2+2ax﹣2a=0至少有一個方程有實根,求實數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com